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Fachgebiete/Algebra

Algebra

Ein erster Schritt um mal eine kleine Übersicht für ein paar Themen der B1 zu erstellen. Vielleicht lässt sich darauf ja was aufbauen. Bis jetzt ist alles nichts neues, allerdings ist die Hoffnung, dass hier ein paar Ideen zum Verständnis der grundlegenden Konzepte beitragen. Genaue Definitionen werden hier eher weggelassen, da diese in der Vorlesungsmitschrift zu finden sind.

Inhaltsverzeichnis

Lineare Algebra I

Lineare Algebra I

Algebraische Strukturen

Ein Ziel der Grundveranstaltung Lineare Algebra ist die Einführung von gewissen Objekten und Strukturen, die einem Mathematiker alltäglich begegnen, wie etwa Gruppen, Ringe, Vektorräume. Die Idee dabei ist, aus allgemein formulierten "Ausgangseigenschaften" dieser Objekte (Axiome) möglichst viele weitere Eigenschaften zu folgern, auf die man immer wieder zurückgreifen kann, wenn man mal ein spezielles solches Objekt vorliegen hat, ohne die Eigenschaften jedes Mal neu beweisen zu müssen. Diese Allgemeinheit ist der Grund, warum diese Objekte am Anfang so abstrakt erscheinen, dabei ist es hilfreich (ja geradezu notwendig), ein gewisses Repertoire an (mehr oder weniger) konkreten Beispielen vor Augen zu haben, an denen man sich Inspiration und Anschauung holen kann.

Gruppen

Eine Gruppe ist gewissermaßen die allgemeinste Struktur, die einem in den ersten Semestern begegnet. Es ist eine Menge G mit einer zweistelligen Verknüpfung/Operation, die gewisse Rechenregeln erfüllt, welche bereits aus der Schule bekannt seien sollten. Man schreibt die Operation je nachdem in welchem Kontext man ist z.B. mit "$+$" oder "$\cdot$".
Es gilt dabei etwa die Assoziativität

$$ (a+b)+c = a+(b+c)\ bzw\ (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$$

oder beim Addieren der $0$ (Multiplizieren mit $1$) passiert nichts

$$ a+0=a,\ a\cdot 1=a $$

außerdem kann man "mit Minus rechnen" bzw "teilen", also zu $a$ gibt es $-a$ bzw $\frac{1}{a}=a^{-1}$, wobei dann

$$ a-a:=a+(-a)=0,\ \frac{a}{a}:=a\cdot\frac{1}{a}=a\cdot a^{-1}=1 $$

Gilt zudem die Kommutativität, d.h. man darf Summanden/Faktoren vertauschen

$$ a+b = b+a,\ a\cdot b =b\cdot a $$

so nennt man die Gruppe abelsch. (meistens wird bei $+$ implizit immer Kommutativität vorausgesetzt)

Typische Beispiele hierfür sind etwa
die ganzen Zahlen $(\mathbb{Z},+)$ oder allgemeiner die zugrundeliegende (additive) Gruppe eines Ringes
die von Null verschiedenen reellen Zahlen $(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)$ oder allgemeiner die multiplikative Gruppe eines Körpers.
Man kann auch aus zwei (oder mehr) (additiven) Gruppen $G_1$ und $G_2$ eine neue Gruppe gewinnen, indem man das kartesische Produkt

$$G:=G_1\times G_2:=\{(a,b)\mid a\in G_1, b\in G_2\}$$

dieser Gruppen betrachtet und die Addition komponentenweise definiert, also

$$(a,b)+(a',b'):=(a+a',b+b')$$

ein ebenso aus der Schule bekanntes Beispiel wäre der $\mathbb{R}^3:=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}$, also der gewöhnliche dreidimensionale Raum. (Dies wird später auch ein Beispiel für einen Vektorraum sein)

Ringe

(kommutative) Ringe sind nun spezielle (additive) abelsche Gruppen, die zusätzlich noch eine (kommutative) Multiplikation haben, die sich mit der Addition "verträgt", d.h. das Distributiv-Gesetz gilt

$$(a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$$

Diese Ringe verhalten sich in vielen Dingen ähnlich wie die bekannten Beispiele $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, können jedoch auch gänzlich anders erscheinen.
Weitere Beispiele wären $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$, $\mathbb{Q}[\pi]$ oder zu einem gegeben Ring $R$, den (bzw einen) Polynomring $R[X]$.
Analog zu Gruppen kann man auch Produkte mit komponentenweise definierten Operationen bilden.

Körper

Körper sind wiederum spezielle kommutative Ringe, die aber eine entscheidende zusätzliche Eigenschaft haben. Und zwar kann man hier auch "teilen", d.h. jedes (von $0$ verschiedene!) Element $a$ besitzt ein Inverses $a^{-1}$. Dazu fordert man auch $0\neq 1$.
Wieder gibt es hier die schon bekannten Beispiele $\mathbb{Q}$ oder $\mathbb{R}$.
Es gibt gewissermaßen zwei Gründe, warum ein Ring möglicherweise kein Körper ist. Zum einen kann es daran liegen, dass es zwar (multiplikative) inverse Elemente "irgendwo" gibt, diese aber nicht unbedingt in dem Ring liegen, wie es z.B. bei den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ der Fall ist. Dies ist bekanntlich ein Unterring von $\mathbb{Q}$ (oder $\mathbb{R}$), dort hat also jedes $a\neq 0$ ein Inverses, welches aber in den meisten Fällen (außer bei $1$ und $-1$) keine ganze Zahl mehr ist. (z.B. $2\in \mathbb{Z}$ aber $\frac{1}{2}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}$).
Die andere Möglichkeit ist, dass es zu manchen Elementen garkeine Inversen geben kann - auch nicht in einem größeren Ring - da er sogenannte Nullteiler enthält.
Das sind Elemente die nicht Null sind ($a,b\neq 0$) aber im Produkt Null ergeben, also $ab=0$.
Wäre in diesem Fall $xa=1$ für ein $x$, so wäre $b=1\cdot b=(xa)b=x(ab)=x\cdot 0=0$ ein Wiederspruch.

letzteres ist auch der Grund, warum man zwar mit Körpern (als Ringe) kartesische Produkte bilden kann, diese sind jedoch keine Körper mehr.
z.B. $(1,0),(0,1)\neq 0:=(0,0)$ aber $(1,0)\cdot (0,1)=(1\cdot 0,0\cdot 1)=(0,0)=0$

Homomorphismen

Abbildungen/Funktionen zwischen zwei Objekten (wie etwa jeweils Gruppen, Ringen oder Körpern) die sich mit den gegebenen Strukturen "vertragen", d.h. $f(a\circ b)=f(a)\circ f(b)$ (wobei z.B. $\circ=+$ oder $\circ=\cdot$) nennt man Homomorphismen. Sie sind das wichtigste Mittel, wenn es darum geht Beziehungen zwischen zwei solchen Objekten zu untersuchen.
Sind $A$ und $B$ zwei Mengen, also Objekte ohne Struktur, so kann man sich z.b. die Frage stellen, ob es eine injektive/surjektive/bijektive Abbildung $f:A\rightarrow B$ gibt, um zu entscheiden, welche der beiden Mengen "größer" ist, also mehr Elemente hat.
Hat man nun mehr Struktur gegeben, z.B. $A$ und $B$ Gruppen, so geben die Homomorphismen Aufschluss darüber, wie "ähnlich" sich diese Strukturen sind. Dabei tauchen Begriffe wie Mono-,Epi- und Isomorphismen auf (Mono=injektiv, Epi=surjektiv, Iso=Mono+Epi). Geht so ein Homomorphismus von einem Objekt in sich selbst, so spricht man von einem Endomorphismus (und Automorphismus=Iso+Endo).
Ein Isomorphismus $f:A\rightarrow B$ ist dabei ein sehr starker Begriff, denn wenn es so einen gibt, bedeutet das, dass sich $A$ und $B$ kaum (bzw im Bezug auf die untersuchte Struktur garnicht) unterscheiden. Man kann sie miteinander "identifizieren". Auch wenn $f$ nur ein Monomorphismus ist, heißt das, dass $A$ gewissermaßen in $B$ "drin liegt", denn $A$ ist somit isomorph zu $f(A)\subset B$ (denn $f:A\rightarrow f(A)$ ist zusätzlich surjektiv). Man spricht daher auch von einer "Einbettung".
Als einfache Beispiele seien hierzu

$$\iota:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Q}:x\mapsto x$$

(Monomorphismus)

$$\phi:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}:x\mapsto -x$$

(Automorphismus)

$$\varphi:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}:x\mapsto 2x$$

(injektiver Endomorphismus, der kein Automorphismus ist)

Äquivalenzrelationen und Quotienten

Wenn man sich mit algebraischen Strukturen beschäftigt, dann kommt es oft vor, dass z.b. in einem Ring viele verschiedene Elemente vorhanden sind, wovon sich aber einige unter ihnen in gewissem Sinne gleich verhalten und man sie somit eigentlich nicht unterscheiden möchte. Hier kommen ganz allgemein Äquivalenzrealtionen ins Spiel.

Schauen wir uns dazu ein - nicht sehr tiefsinniges, aber hoffentlich einigermaßen anschauliches - Beispiel an. Wir haben einen großen gefüllten Obstkorb. Wenn uns jemand fragt, was denn drin ist, werden wir nicht anfangen, jedes Stück einzeln aufzuzählen, sondern die Obststücke gleicher Art zusammenzufassen und sagen, da sind Äpfel, Birnen, Bananen, etc. und auch wenn vielleicht 20 Äpfel und 17 Bananen drin sind, die jeweils Individuen für sich sind, unterscheiden wir sie nicht (vorausgesetzt sie sind alle in gutem Zustand und nicht schon faulig oder so). Wir bekommen also eine "Zerlegung" der Teile aus dem Obstkorb in die Klassen "Äpfel", "Birnen", ... wobei zwei solcher Klassen immer disjunkt und alle nichtleer sind (wir betrachten ja nur die Klassen, die unter dem Obst auch vorkommen). Wir können nun auch sagen, wann zwei Obststücke "äquivalent" sind. Und zwar dann, wenn sie von der gleichen Sorte sind. Wenn wir nun ein Stück hernehmen, z.B. eine Zwetschge, und sammeln dann alle Teile, die im genannten Sinne äquivalent dazu sind, so bekommen wir wiederum die Äquivalenzklasse der "Zwetschgen". Hieran sieht man also, dass das Prinzip einer Zerlegung (in paarweise disjunkte, nichtleere Mengen - die Äquivalenzklassen) das gleiche ist, wie das einer Äquivalenzrelation (eine zweistellige, reflexive, symmetrische und transitive Relation). Packen wir nun alles Obst gleicher Sorte jeweils zusammen in eine Tüte, so aben wir nur noch vielleicht 4 Objekte in dem Korb, eine Tüte für die Äpfel, eine für die Birnen, die Bananen und die Zwetschgen (alternativ können wir uns auch ein Stück Obst aus jeder Tüte vorstellen, was stellvertretend für die anderen im Korb liegt). Wir haben nun "Obstkorb" modulo "gleicher Obstsorte", also den Quotienten bzgl einer Äquivalenzrelation gebildet.

Im folgenden werden wir speziellere Äquivalenzrelationen betrachten, die auch noch mit der Struktur ("$+$" oder "$\cdot$") der behandelten Objekte zusammenpasst.

Untergruppen und Quotientengruppen

Ideale und Quotientenringe

Kerne, Quotienten und Homomorphiesatz